ÇİZGE KURAMI VEYAHUT KİM KİMİ

Hiç gitmedim. Königsberg deyu bir garp eli var imiş. El an da var. Efendim, bu şehrin içinde eski ve yeni Pregel nehirleri birleşerek Pregel (Pregolya) nehrini oluşturuyorlarmış. Bu nehirler şehri 4 bölüme ayırıyor ve nehir üzerinde bu bölgeleri birleştiren yedi köprü bulunuyormuş.

İmdi sene 1736. Ulemadan Euler, şu suali merak ediyor: Bütün köprülerden bir ve yalnız bir kez geçmek koşulu ile bir yürüyüş yapılabilir mi?

Kimi işinde gücünde, kimi parayı bulmuş, kimi fakir, herkes her gün sağa sola gidiyor, aval aval etrafa bakınıyor ama böyle sorular sormuyor. Sorsak n’olur? Euler olur.

Neredeyse herkesin hayatının bir döneminde duyup, uğraştığı ve elbette çözemediği ‘üç kuyu üç ev problemi’, çizge kuramının popüler problemlerinden biridir. Soru şudur:

Üç ayrı eve, üç ayrı kuyudan, üç eve de, her üç kuyudan su gidecek şekilde borularla su götürün ama borular hiçbir yerde kesişmesin. [yani her kuyudan üç boru çıkıp üç ayrı eve girecek. Bu ne demek; her eve de her üç ayrı kuyudan çıkan borular girecek.]

Sorunun çözümü yoktur. Yine mutlaka tıfılken herkes şu suale muhatap olur: Efendim, kapalı bir zarf şekli çizilir ve her çizginin üzerinden yalnız bir kez geçerek hiç elinizi kaldırmadan bu şekli çizmeniz istenir. Ondan sonra haydi babam;

Bir ticaret yapmadım, nakd-i ömür oldu hebâ

Yola geldim, lâkin göçmüş cümle kervan bîhaber

deyu uğraş dur... Çizge mevzusunu iyi bilmemiz işte bu ve benzer soruların çözümsüz olduğunu bize kolayca gösterebilir. Hiç değilse plak kırılmaz, conta sıyırmaz, insan beyhude yorulmamış olur.

Nedir?

Çizgeleri inceleyen matematik dalıdır. Nasıl yani? Popüler matematik metinlerinde öyle yazıyor. Baba matematik kitaplarında ise standart lise matematik müktesebatına sahip birisi için bile konu anlaşılması hayli zor şekilde ele alınıyor. Daha basit anlatılabilir mi? Deneyelim.

İki ya da daha fazla şey [insan, kavram, nokta, bina, araba, şehir…] arasındaki ilişkinin soyutlanarak sembolize edilmesi [temsil] ile bu münasebetlerin anlamının çözümlenmesine Çizge kuramı [Graph theory] diyebiliriz.

Çizge, noktalar, uçlar ve bu uçları birbirine bağlayan kenarlardan oluşan bir tür ağ yapısı, şeklidir. Noktaların, uçların sayısı sonsuza kadar artabilir. Bazı noktaların arasına ilişki var anlamına gelen bir çizgi çekilir. Noktaların, çizgilerin konumu, boyutu, şekli önemli değildir. İşte bu sebepten çizge teorisi, topoloji gibi geometriden ayrılır. Çizgiler, uğraştığımız meselenin içeriğine göre kesişip kesişmeyebilir. Yine konuya göre uçları birleştiren kenarların yönleri olabilir. Bu çizgelere yönlü denilir ve 'sözde [pseudo] çizge' diye de bilinir. Yönlü çizgelerde her kenarın yönünü belirtmek için üzerlerine ok işareti konur. Mesela, a noktasından b noktasına doğru olan kenar üzerinde sadece a'dan b'ye hareket edilebilir ama tersi yapılamaz. Yönsüz çizgelerde ise aslında kenarlar çift yönlüdür. a ve b bir kenar ile birbirine bağlı ise a'dan b'ye ve b'den a'ya hareket mümkündür.

Kenar [çizgi] ve noktalardan [uç] oluşan bir G çizgesi [çeşitli noktalar arasını birleştirerek oluşturulan şekil], bir uçlar kümesi U(G), kenar kümesi K(G) ve bu kenar kümesindeki her kenarın iki uç ile ilişkilerinden oluşur. Matematikçiler geleneksel olarak uçlar kümesini, uç nokta, köşe manasında ‘Vertex’ten, V(G), kenar kümesini, kenar anlamındaki ‘Edge’ten, E(G) ile gösterirler. Biz daha kolay anlaşılsın diye Türkçe kavramların ilk harflerini kullanalım. Bir kenarın iki noktasına [uç], komşu noktalar denir. Nokta sayısı arttıkça çizgeleri temsili olarak ifade etmek zorlaşır bu durumda matematikçilerin tipik hareketidir, sembolik ifadeler kullanılır. Kn çizgesi, mevcut noktalar arası [yani n tane nokta varmış..] çizilebilecek tüm kenarların olduğu çizgelerdir ve 'tamçizge' diye ifade edilir. Yine n tane nokta var olduğunu düşünelim. Mevcut her noktaya tam iki kenar değen tek parça çizgelere döngü denir ve Cn çizgesi şeklinde ifade edilir.

Königsberg'in köprüsü

Hiç gitmedim. Königsberg deyu bir garp eli var imiş. El an da var. Efendim, bu şehrin içinde eski ve yeni Pregel nehirleri birleşerek Pregel (Pregolya) nehrini oluşturuyorlarmış. Bu nehirler şehri 4 bölüme ayırıyor ve nehir üzerinde bu bölgeleri birleştiren yedi köprü bulunuyormuş.

İmdi sene 1736. Ulemadan Euler, şu suali merak ediyor: Bütün köprülerden bir ve yalnız bir kez geçmek koşulu ile bir yürüyüş yapılabilir mi?

Kimi işinde gücünde, kimi parayı bulmuş, kimi fakir, herkes her gün sağa sola gidiyor, aval aval etrafa bakınıyor ama böyle sorular sormuyor. Sorsak n’olur? Euler olur.

Neyse suale dönelim. 1736'da Euler, böyle bir gezintinin mümkün olmadığını ispatlamış ve bir makale yazmış. Leonhard Euler'in, Königsberg'in Yedi Köprüsü hakkındaki makalesi [1736] çizgeler hakkındaki ilk bilimsel yayın olarak kabul ediliyor. Çözümünü anlamak için evvela aşağıdaki şekle dikkatle bakalım. Burada kara parçaları harflerle, köprüler ise sayılarla işaretlenmiş.

Euler usta mevzuyu matematik diline döküp, kara parçalarının noktalar, köprülerin ise bu noktaları birleştiren çizgiler olarak gösterildiği ikinci bir şekil yani çizge [graf] çizmiş. Aşağıdaki gibi:

Şimdi yukarıda anlattığımız gibi, çizgiler çizge elemanı, noktalar düğüm [uç], düğüme bağlı olan elemanların sayısı ise düğüm derecesi olarak adlandırılmak üzre üstad, suali, çizgenin herhangi bir düğümünden başlayarak yedi elemanının herbirini, bir ve yalnız bir kez kullanarak dolaşma problemine dönüştürmüş. Ve demiş ki; bu tür dolaşmayı mümkün kılacak çizgelerin, şu özelliklere sahip olmaları gerekir:

1/ Birleşik bir çizgenin bütün elemanlarını bir ve yalnız bir kez kullanarak dolaşmak için o çizgenin tek dereceli düğümlerinin sayısı, eğer varsa, iki olmalıdır.

2/ Tek dereceli düğümler, dolaşmanın başlangıç ve bitiş düğümleridir.

3/ Çizgede böyle düğümler yoksa dolaşmaya herhangi bir düğümden başlanabilir.

Biraz daha anlaşılır kılmaya çalışalım. Bir düğüm, başlangıç ya da bitiş düğümü değilse o düğüme gelen kişinin turu tamamlayabilmek için oradan ayrılması gerekir. Dolayısıyla bu tip düğümlerin çift dereceleri olmalıdır. Oysa tek dereceli bir düğüme, örneğin D düğümüne ikinci kez gelen bir kişi çıkış yolu bulamaz. Dolayısıyla bu düğüm ya gezintinin bitiş düğümü olmalı ya da başlangıç düğümü olarak seçilmelidir ki ikinci gelişte çıkış yolu bulunabilsin. Buna göre tek dereceli düğüm sayısı ikiden fazlaysa gezinti tamamlanamayacaktır. Yürüyüşün sonunda başlangıç noktasına dönülebilmesi içinse bütün düğümler çift dereceli olmalıdır. Böyle başlangıç ve bitiş düğümü aynı olan ve her bir elemanı sedece ve en az bir kez içeren turlar, üstadın hatırına, 'Euler turu' ve Euler turu içeren çizgeler de 'Euler çizgesi' deyu anılıyor.

Bugün şehir planlamacıları, elektrik şebekesi, karayolları planlayanlar, moleküler kimya, elektronik devrelerle uğraşan herkes bu teoriyi biraz biliyor. Bence ne kadar iyi bilirlerse bizim için o kadar iyi…

İlim, irfan adamıyım, sadece belgesel, haber, altyazılı filmler izlerim hiç magazinle, âlemle işim olmaz mı diyosun? Öyleyse, dünyada şimdiye kadar bir kez sevişenlerin sayısı çifttir; efendim, en az 6 kişinin davetli olduğu bir doğum günü partisinde, birbirini karşılıklı tanıyan ya da tanımayan 3 kişinin bulunacağı kesindir. Veya herkesin en az 3 kişiyi tanımadığı 8 kişilik bir âlemde, bu 8 kişinin kendi içinde birbirini tanıyan 4 çifte ayrılabileceği garantidir gibi mevzuları rahatlıkla çizge kuramı ile çözümleyebilirsin. İlim, ilim uğraş. İyidir...

KAZIM ÖNDER YILDIRIM