SEVGİLİ OFELYA, BU SAYILARA HASTAYIM!

İnsanoğlu niçin, yok asal sayılar, yok şöyle sayılar, yok böyle sayılar gibi kavramların peşinden koşuyor?
Bunların doğada karşılıkları var da onları görüp soyutluyor mu? Yok aga, beynin kendisi olmuş kainat, artık soyutlama kabiliyeti de gelişmiş [prefrontal kortex] kendi yaratıp/soyutlayıp kendi oynuyor mu? La yoksa hepsi zihinsel mastürbasyon mu? Peki, bizim böyle sorular sorup, arayışlara marayışlara girmemizin bir manası var mı? Var, var... Otur dersini çalış, ödevini yap dese de birileri, ne demiş A. N. Whitehead üstadımız: "The science of pure mathematics, in its modern developments, may claim to be the most original creation of the human spirit."

Aşk-ı beka...

Bir şey bulup, o şey her neyse 'ya bakî ente'l bakî' demek istiyor adam. Bu arada bulduğu şeylere de bu lafı en artistiğinden söylüyor. Nasıl mı? Eğer asal sayı diye tanımlanan özellik, 20'ye ya da 100'e, 1000'e kadar olsaydı yani bu sayılardan sonra bu tanıma uygun sayı bulamasaydık şimdiye kadar mevzu, herşey çok güzeldi ama yaşandı bitti kıvamında unutulur giderdi. Bugün asal sayı namlı güzeli pozisyondan pozisyona sokup sevmezdik.

Âh!.,"the Infinite!. No other question has ever moved so profoundly the spirit of man." [David Hilbert]

Beşer, âdem olduğu zaman yani evrim süreci içinde pre-frontal korteksi kalınlaştığı vakit ağaca ağaç, elmaya elma diye bakmaz oldu. Artık ağaç da elma da başka bir şeydi. Botanikti [bu ne ağacı lan meyvesi, yaprağı bi değişik?], tarımdı [bunu benim tarlaya ekeyim aga], iktisattı [meyvesi yeniyo la, satsak iyi para eder, kilosunu kaçtan virsek acaba], matematikti, fizikti [hatırlayınız Newton-yerçekimi], vahiydi [hatırlayınız İsa-zeytin ağacı, Buda-incir ağacı], biyoloji idi, tıp idi [müşahadeler göstermektedir ki malus domestica meyveleri aklî bozukluklara ve sindirim sistemi hastalıklarına...], şiirdi. Talim-i esma dedikleri budur. Meyveyi yeme, yaprakları örtünme, ben, sen, o... konunun diğer boyutları var o uzun mesele. Tanrı, Âdem'e isimleri öğretti ya da öğrenme kabiliyetini verdi ya da kendi öğrendi her neyse yine başka mevzu oralara girmeyeceğiz.

O dear Ophelia,
I am ill at these numbers.
                                                                                                     Hamlet-W.Shakespeare

Asal sayı nedir, kaç asal vardır, asal sayıların bir sonu var mıdır?

Yalnız kendisine ve 1’e bölünebilen, 1'den büyük pozitif tam sayılara asal sayılar denir. Yalnız ve yalnız iki böleni olan doğal sayılar şeklinde de tanımlanabilir. Kendisinden küçük asal sayıların hiçbirine tam bölünmeyen sayılardır. 100’den küçük asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97 dir. Öklid'ten [Euklides] beri asal sayıların sonsuz olduğu bilinmektedir, fakat asal sayılar hakkında pek çok başka soru hala daha cevapsızdır. Bu sorulardan bir kısmına değinelim.

1, asal sayı mıdır?

1 sayısını asal olarak kabul eden matematikçiler de vardı ve bilimin en hür oyun alanı sayılabilecek matematik dünyasında bugün hala 1’i asal kabul eden çalışmaların geçerliliği devam etmektedir. [bkz. Moritz Abraham Stern, Helmut Zeisel ve Henri Lebesgue’ nin çalışmaları]

1, niçin asal olmamalı? Çok basit düşünürsek, bir asal sayı başka bir asal sayıyı asla tam bölmez aksi halde tanıma aykırı olarak bölündüğünü iddia ettiğimiz sayı [bölünen] zaten asal olmaz. Oysa 1 sayısı bütün asalları da sayıları da tam böler. Öyleyse 1, asal olamaz diyebiliriz. Matematikçilerin kahir ekseriyeti 1 sayısını asal kabul etmezler. Çünkü kabul ederlerse matematiğin çok temel teoremlerinin değişikliğe uğraması gerekir. Mesela Aritmetiğin temel teoremi. O ney mi?

Aritmetiğin temel teoremi

Bilebildiğimiz kadarıyla herkesten evvel Öklid’in ispatını yaptığı bu teoreme göre; tüm pozitif tam sayılar "yalnız bir şekilde-unique" [asal çarpanların değişik sıralanması hariç] asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabilir. Mesela 30=2x3x5 şeklinde yazılır. 30=5x2x3 biçimine yazılsa da fark etmez sonuçta sıralamadan bağımsız tek şekilde gösterebiliriz ve bu sayı asal çarpanlarına ayrılmış denir. Yani asal sayılar, doğal sayıların sanki yapı taşları gibidir. [bu laf mühim!.]

ispatı

Bu teoremin ispatı 'Olmayana Ergi' [Reductio ad Absurdum] yöntemiyle yapılmıştır. Ne demek olmayana ergi? Bu yöntem için kısaca, önce iddianın/ifadenin/teorinin gerçek olmadığını varsayarsak ne olur diye bakarız, değerlendiririz? Eğer bu bir çelişkiye yol açarsa teori/ifade doğru kabul edilir.

Aritmetiğin temel teoremi’ne dönersek; evvela her tamsayının 1’den farklı bir en küçük böleni olan asal sayı vardır ve biz buna ‘en küçük asal bölen’ deriz ifadesini [bunun kanıtını size bırakıyorum] bilmemiz gerekir. n sayısı, aritmetiğin temel teoremini çürütecek olan en küçük doğal sayı olsun. Asal olmadığına göre, a ve b, n ile 1 arasında birer doğal sayı olmak üzere, n=a.b şeklinde yazılabilir. Fakat n sayısını teoriyi çürütecek ‘en küçük sayı’ kabul ettiğimiz için a ve b birer asal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu durumda, n de asal sayıların çarpımıdır ve bu yüzden ilk varsayım doğru olamaz. Bu da bize farz ettiğimiz şekilde bir n sayısının var olamayacağını gösterir ve teoremi kanıtlar.

Pek anlaşılmadı mı? Bir de en küçük asal bölen mevzusuyla birlikte şöyle düşünelim. p1 en küçük asal bölen olmak üzere n=p1.n1 [n1 ilkmektepten de hatırlayacağımız üzere 'bölüm' oluyor] şeklinde yazılabilir. n1 asal ise zaten aritmetiğin temel teoremindeki durum ifade ediliyor demektir. Öyle olmadığını düşünelim. O zaman n1=p2.n2 şeklinde de yazılabilir. n2=p3.n3, n3=p4.n4 vesaire şeklinde ni [i=1] yani bölüm 1 olana kadar devam ettirirsek n=p1.p2.p3.p4……. şeklinde asal çarpanlarına ayrılabildiğini anlarız.

Peki, bu teoremin 1 sayısını asal kabul etmek ile nasıl bir ilgisi var. Yani 1’i asal kabul edersek bu teoremin neresi geçersiz olur? Artık onu da siz düşünün.

En çok hangi pozisyondan...

Şimdi, tâ en başta şekilden şekile sokarlar demiştik ya. Matematikçiler çeşitli ifadeler, notasyonlar yazıp bu asal mıdır, değil midir, niçun diye yazıp dururlar. Basit bir örnek vermek gerekirse;

p

p+8

ve p+22

her üçünün de asal olmasını sağlayan bir p pozitif tamsayısı yoktur. Öyle mi? Gel canım. Bi bakalım..

Eğer p asal değilse zaten mesele yok, iddia doğrudur. [ birinci sayımız p, zaten asal olmuyor o zaman] p'nin asal olduğunu farzedelim. O vakit p'yi 3'e böldüğümüzde ya 1 ya da 2 kalır/artar. 3 artsa tam bölünür zaten asal olmaz. 4 artsa mı? Sen henüz bölmeyi bilmiyorsun güzelim.

Bir başka şekilde [daha artistik] ifade edersek;

p=1 mod 3

veya p=2 mod 3 [modları unuttun mu? bi bak emen atırlarsın..]

Eğer p=1 mod 3 ise p+8=0 mod 3'tür ve [p+8], 3'e tam bölünür yani asal değildir. [bi düşün, 3'e böldüğünde 1 artan bir sayıya 8 ekliyorsun yani şimdi 3'e bölerken, 8+1=9 eklemiş gibi oluyorsun. 9=3x3 artık yeni sayımız 3'e tam bölünür.]

Eğer p=2 mod 3 ise p+22=0 mod 3'tür ve yine 3'e tam bölünür yani asal değildir.

Bir de bu pozisyon işinin, conjecture, refutation, expostulation vesaire kısmı vardır ki konuyla ilgili en meşhur misallerinden birisi Goldbach hipotezidir.

Goldbach hipotezi

Her çift sayı, iki asal sayının toplamı mıdır? Mesela:

4=2+2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11

16 = 3 + 13 gibi…

Christian Goldbach, 7 Haziran 1742'de Leonhard Euler'e yazdığı mektupta şöyle diyordu:

“...En azından 2'den büyük her sayı iki asal sayının toplamıdır...”

Görüldüğü üzere Goldbach burada o zamanın geleneğine uygun olarak 1 sayısını da asal kabul ediyor. 2’den büyük ilk sayı 3=2+1 şeklinde düşünmüş ancak bugün bu hipotez “3’ten büyük her sayı..” şeklinde değiştirilmiştir. Goldbach’ın bu hipotezi [sanısı] hâlâ kanıtlanamamıştır. Faber and Faber adlı yayın şirketi bu sanının doğru olduğunu, 20 Mart 2000 ve 20 Mart 2002 arasındaki 2 yıllık sürede kanıtlayabilecek ilk kişiye 1.000.000 Amerikan doları ödül vaat etmiştir. Fakat sanı halen ispatsızdır dolayısıyla bu ödülü de kazanan olmamıştır.

Asal sayılar, geçtiğimiz yüzyıl ortalarından itibaren şifrebilim, kriptografi alanında da kullanılır oldu. Buradaki incelik de çok büyük asalların çarpanlarının kullanılması ve bu büyük sayıların bileşimlerinin bulunmasının zorluğu. 3 ve 7’den 21’e ulaşmak nispeten kolaydır ancak elinizde sadece 21 sayısı varsa oradan 3 ve 7’ye ulaşmak yani şifreleri kırmak hele bu sayı çok büyükse oldukça zordur, biraz sıkar.

İkiz asallar sanısı

Aralarındaki fark, 2 olan asal sayılara ikiz asal sayılar denir. Örneğin 3 ve 5, 5 ve 7, 11-13, 17-19, 29-31.. ikiz asallardır. [2,3] çifti hariç iki asal sayının arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir. Peki, aralarındaki fark 2 olan asal sayılardan sonsuza dek uzanan bir dizi var mıdır? Bilmiyoruz.

İkiz asallar sonsuz mu sonlu mu dağılımı nasıl gibi sorular, sayılar kuramının yıllardır uğraştığı en büyük problemlerinden birisidir. Asal olma özelliği çarpma işlemine göre tanımlanmış bir özellik olduğu halde, asallar arasında toplama işlemine göre ilişkilerin sorgulandığı bu ve benzeri sorular çözümleri de güçleştirmektedir.

Riemann zeta fonksiyonu

Peki, asal sayıların tüm doğal sayılar içinde dağılımı, bir örüntüyü takip etmekte midir? Alman matematikçi Bernhard Riemann 1859 yılında, asal sayıların sıklığının; s≠1 olmak şartıyla tüm s karmaşık sayıları için;

biçiminde belirtilen ve Riemann Zeta Fonksiyonu olarak bilinen fonksiyonun davranışına çok bağlı olduğunu gözlemledi. Riemann hipotezinin iddiasına göre ζ(s)=0 denkleminin tüm çözümleri karmaşık düzlemde bir doğru üzerinde yer almaktadır. Ulema bu doğruya 'kritik doğru' diyor. Daha kati bir ifadeyle, bu denklemin tüm karmaşık sayı çözümlerinin gerçel kısımlarının ½ olduğu tahmin edilmektedir. Riemann hipotezi ya da Riemann zeta hipotezi [kafan hemen Catherine Zeta Jones'a gidiyor de mi alçak.. Haklısın ne diyeyim..] olarak bilinen bu iddia ilk 1.500.000.000 çözüm için sınanmış ve bu doğruluk tespit edilmiş fekat asıl istenen sözkonusu tüm değerler için doğruluğun kanıtlanması ki şu güne kadar tam mânâsıyla çözülememiş problemlerden biridir. Bu iddianın her çözüm için doğru olduğunun ispatlanabilmesi halinde asal sayıların dağılımı ile ilgili yeni mefhumlara pencereler açmak mümkün olacaktır.

Matematik, yalnızca iyi metafiziktir

İnsanoğlu niçin, yok asal sayılar, yok şöyle sayılar, yok böyle sayılar gibi kavramların peşinden koşuyor?

Bunların doğada karşılıkları var da onları görüp soyutluyor mu? Yok aga, beynin kendisi olmuş kainat, artık soyutlama kabiliyeti de gelişmiş [prefrontal kortex] kendi yaratıp/soyutlayıp kendi oynuyor mu? La yoksa hepsi zihinsel mastürbasyon mu?

Peki, bizim böyle sorular sorup, arayışlara marayışlara girmemizin bir manası var mı? Var, var... Otur dersini çalış, ödevini yap dese de birileri, ne demiş A. N. Whitehead üstadımız: "The science of pure mathematics, in its modern developments, may claim to be the most original creation of the human spirit." 

Aşk-ı beka...

Bir şey bulup, o şey her neyse 'ya bakî ente'l bakî' demek istiyor adam. Bu arada bulduğu şeylere de bu lafı en artistiğinden söylüyor. Nasıl mı?

Eğer asal sayı diye tanımlanan özellik, 20'ye ya da 100'e, 1000'e kadar olsaydı yani bu sayılardan sonra bu tanıma uygun sayı bulamasaydık şimdiye kadar mevzu, herşey çok güzeldi ama yaşandı bitti kıvamında unutulur giderdi. Bugün asal sayı namlı güzeli pozisyondan pozisyona sokup sevmezdik.

Âh!., "The Infinite! No other question has ever moved so profoundly the spirit of man." [David Hilbert]

Beşer, âdem olduğu zaman yani evrim süreci içinde pre-frontal korteksi kalınlaştığı vakit ağaca ağaç, elmaya elma diye bakmaz oldu. Artık ağaç da elma da başka bir şeydi. Botanikti [bu ne ağacı lan meyvesi, yaprağı bi değişik?], tarımdı [bunu benim tarlaya ekeyim aga], iktisattı [meyvesi yeniyo la, satsak iyi para eder, kilosunu kaçtan virsek acaba], matematikti, fizikti [hatırlayınız Newton-yerçekimi], vahiydi [hatırlayınız İsa-zeytin ağacı, Buda-incir ağacı], biyoloji idi, tıp idi [müşahadeler göstermektedir ki malus domestica meyveleri aklî bozukluklara ve sindirim sistemi hastalıklarına...], şiirdi. Talim-i esma dedikleri budur. Meyveyi yeme, yaprakları örtünme, ben, sen, o... konunun diğer boyutları var o uzun mesele. Tanrı, Âdem'e isimleri öğretti ya da öğrenme kabiliyetini verdi ya da kendi öğrendi, yine başka mevzu oralara girmeyeceğiz.

Rakam kavramından [concept] sayıyı soyutlayan insanoğlu, evvelâ farklı bir özellik [isim/sıfat] arıyor sonra 'nereye kadar gidiyor la bu' diye konuyu sonsuzluk içinde ifham etmeye ya da sonsuzluğu [beka] bir isim/sıfat içinde mefhum [notion] haline getirmeye uğraşıyor. [ya bakî ente'l bakî]

Getirdi diyelim, bitmiyor. Öyle olsa ne oluyor böyle olsa ne oluyor deyip konuyu şekilden şekile sokuyor. [tezahür/tecelli-i esma] Veya matematikçilerin, 'şimdi n...' diye başlayan genellemelerini düşünün, ne demeye böyle bir atraksiyona girişiyorlar. Mesele şudur; aceba her yerde bu özellik [isim/sıfat] tecelli ediyor mu? [Ehadiyyet]

Lord Kelvin, "Matematik, yalnızca iyi metafiziktir." demiş. Bence inanın...

KAZIM ÖNDER YILDIRIM